Парадокс Эрроу.

Американский математик Кеннет Джордж Эрроу (р.1921), профессор Стэнфордского, Гарвардского и ряда других университетов, удостоенный Нобелевской премии по экономике (1972) за работы в области теории общего экономического равновесия, заложил основы современной теории выбора, а его работа «Социальный выбор и индивидуальные ценности» (1952) и по сию пору определяет развитие этой теории.

На основе анализа ситуаций, возникающих при групповом выборе, им были сформулированы пять условий, которым должно удовлетворять результирующее отношение.

Пусть имеется множество альтернатив А = {a₁,a₂,…,a_n}. Группа из m экспертов указала свои предпочтения P₁, P₂, …, P_m на множестве альтернатив А. На основе полученной информации требуется построить результирующее отношение F(P₁, P₂,…, P_m).

Условие универсальности (Условие А)

В основе данного условия лежат требования: полноты (связности), которое предписывает, что любые альтернативы a_i,a_j А i,j должны быть упорядочены экспертами по предпочтениям (лучше, хуже, безразлично), и требование транзитивности результирующего отношения.

С учетом этих требований, условие универсальности может быть сформулировано следующим образом:

Результирующее отношение F(P₁,P₂,…,P_m) должно быть определено для всевозможных предпочтений, указанных различными экспертами, при условии, что число экспертов не менее двух, а альтернатив не менее трех.

Условие монотонности (Условие В)

Условие монотонности может быть сформулировано следующим образом: Если какой-либо из экспертов изменил свое предпочтение в пользу результирующего отношения, то результирующее отношение не изменится.

Пусть эксперт λ указал свое отношение предпочтения P_λ, в котором пара альтернатив (a_i,a_j) P_λ и (a_i,a_j) F(P₁,P₂,…,P_m). Если эксперт изменит свое предпочтение P_λ на предпочтение P . в котором пара альтернатив (a_i,a_j) P и (a_i,a_j) F(P₁,P₂,…,P_m,), то

F(P₁,P₂,…,P_λ-1, P , P_λ+1,…,P_m ) = F(P₁,P₂,…, P_λ-1, P_λ, P_λ+1,…,P_m ).

Условие независимости от несуществующих альтернатив (Условие С)

Данное условие определяет, что результирующее отношение между любыми двумя альтернативами зависит от мнения всех экспертов только по отношению к этим двум конкретным альтернативам, безотносительно к их мнению по отношению к другим альтернативам;

Это условие может быть сформулировано таким образом [Кини, Райфа]:

Если некая альтернатива исключается из рассмотрения, а отношения предпочтения для остающихся альтернатив по мнению всех экспертов, остаются неизменными, то новое результирующее отношение для оставшихся альтернатив должно быть идентичным первоначальному результирующему отношению этих альтернатив.

Условие независимости может быть трактовано и таким образом:

Пусть на множестве альтернатив А = {a₁,a₂,…a_n} экспертами указаны отношения P₁, P₂, …, P_m. После расширения множества альтернатив A до множества А' путем добавления к исходному множеству А новых альтернатив (a_n+1,a_n+2,…,a_n+k) экспертам предложено снова задать на множестве А' свои предпочтения P₁', P₂', …, P_m'. Если при этом предпочтения экспертов на исходном множестве А не изменились, то

F(P₁, P₂,…, P_m) = F (P₁', P₂', …, P_m' ).

Таким образом, отсюда следует, что расширение или сужение исходного множества альтернатив при сохранении предпочтений экспертов на исходном множестве альтернатив не меняет на нем результирующего отношения.

Условие суверенности экспертов (условие D)

Данное условие предполагает, что для любой пары альтернатив a_i и a_j существует такая совокупность предпочтений экспертов, что, согласно результирующему ранжированию альтернатива a_i предпочтительнее альтернативы a_j.

Формально [Литвак] данное условие предполагает, что для любой пары альтернатив a_i и a_j существуют множества предпочтений экспертов P₁, P₂,…, P_m и R₁, R₂,…, R_m таких, что для P₁, P₂,…, P_m

(a_i,a_j) F(P₁, P₂,…, P_m), а для R₂,…, R_m (a_i,a_j) F(P₁,P₂,…,P_m).

Условие отсутствия диктатора (Условие Е)

В группе экспертов не должно быть такого эксперта, что когда он предпочитает альтернативу a_i альтернативе a_j, то и в результирующем отношении F(P₁, P₂,…, P_m) альтернатива a_i будет предпочтительнее альтернативы a_j, независимо от предпочтений всех остальных экспертов, т.е. среди всех предпочтений P₁, P₂, …, P_m не должно быть такого предпочтения P , что F(P₁, P₂,…, P ,… , P_m) = P _.

Эрроу (1951) доказал, что не существует такого ранжирующего отношения, которое удовлетворяло бы одновременно всем условиям А, В, С, D, E.

Другими словами, справедлива следующая теорема (Теорема Эрроу о невозможности): Условия А, В, С, Д и Е несовместны.

Отсюда следует, что не существует процедуры, которая позволяла бы объединить предпочтения экспертов в результирующее отношение, которое удовлетворяло бы этим пяти условиям.