Если множество maxpB не является внешне устойчивым, то для утверждения о том, что выбор следует ограничить рамками этого множества, нет основания.

(т.е. наилучший объект может  этому множеству)

В тех случаях, когда требуется выбрать не один наилучший, а несколько лучших объектов или упорядочить объекты по предпочтительности, понятие максимального объекта и ядра, теряют свое значение.

Пример: если требуется выбрать два объекта, то нельзя утверждать, что все они должны быть максимальными по Р:

Пусть В={a,b,c} и P={(a,c)}, тогда max_pB ={a,b}

Т.к. ничего не знаем о b, то он попадает в max_pB.

Однако если требуется выбрать два лучших объекта, то отбрасывать с нельзя, если принимающий решение дополнительно сообщит, что с предпочтительнее чем b, то искомыми окажутся объекты а и с.

P={(a,c),(c,b)}, сначала находим наилучший первый элемент – а, и убираем его из множества В; затем из (c,b) выбираем наилучший – с.

Объект а_* В называется наихудшим на множестве В, если для любого а B верно соотношение аRa_*.

Объект а₀ называется минимальным по отношению Р относительно В, если ни для одного а B не выполняется соотношение а₀Ра.

Множество min-х по Р объектов из В – min_pB.

Характерной особенностью языка бинарных отношений является допущение о том, что результат сопоставления по предпочтению двух объектов не зависит от состава всего множества выбора А.

В ряде случаев такая зависимость имеет место и для её учета приходится использовать другой язык описания предпочтений, основанный на использовании функции выбора.

Для многокритериальных задач максимизации на множестве допустимых оценок критериев введем отношения:

• Нестрого предпочтения:

a_b – а нестрого предпочтительнее, чем b если а_ib_i , i=1…n, по всем локальным критериям оценка а_i не хуже оценки b_i

• Два отношения строго предпочтения:

a>b - а строго предпочтительнее, чем b, если а_i>b_i , - нет лучше а_i для всех i=1…n,

а b - а строго предпочтительнее, чем b, если а_i>b_i , для всех I и хотя бы для одного а_j>b_j

В соответствии с данными выше определениями оценка y^*Y называется наилучшей по отношению нестрого предпочтения вида _, если для любого yY, выполняется y^*_y.

Т.к. отношение  является порядком, то может существовать только одна такая оценка (решение) y^*. Но оценка y^* не всегда присутствует во множестве допустимых оценок из-за того, что порядок _ не является полным.

Поэтому в зависимости от существа задачи приходится использовать оценки максимальные по  или по >.

Оценка y⁰Y (Y- множество оценок), называется максимальной по отношению строго предпочтения (, >), относительно Y, если не существует оценки yY, такой что yy⁰, y>y⁰.

Оценка максимальная по отношению  называется эффективной или оптимальной по Парето. Множество всех таких оценок из Y – P(Y) – эффективное множество.

Оценка максимальная по отношению > называется слабо эффективной или слабо оптимальной по Парето или оптимальной по Слейтору. Множество всех таких оценок из Y – S(Y) – слабо эффективное множество.

Т.к. из отношения, а>b следует, что верно отношение, а b, то всякая эффективная относительно Y векторная оценка является и слабо эффективной:

P

Найти множества S и Р:

y₁

a b

c

d

e h

p

y₂

g

Лекция№20