9. Меры близости на отношениях

Аксиоматические исследования принципов согласования впервые были предприняты Эрроу.

На основе анализа ситуаций, возникающих при согласованном выборе, им были сформулированы пять условий, которым должно удовлетворять результирующее отношение. Каждое из этих условий, является естественным требованием, предъявляемым к коллективному выбору. Однако совместное их выполнение невозможно, что и было установлено Эрроу.

Приведем сформулированные Эрроу условия:

Пусть – отношения указанные m экспертами на множестве альтернатив A= . Для подмножества альтернатив , пара элементов только тогда, когда . Через F обозначим результирующее отношение для отношений . Пусть и – два множества отношений на А.

В настоящее время аксиоматические меры близости введены на основных типах соотношений: на отношениях порядка, толерантности.

Любая мера близости должна удовлетворять традиционным аксиомам метрики.

Рассмотрим меру близости на ранжированиях:

Пусть есть набор ранжирований. Обозначим через – расстояние между двумя ранжированиями.

Аксиома 1. Расстояние между некими ранжированиями неотрицательно:

Аксиома 2. Расстояние не зависит от направления измерения:

Аксиома 3. (неравенство треугольника):

Случай, когда в неравенстве треугольника достигается равенство, заслуживает особого внимания. Поэтому иногда этот случай выделяют в виде отдельной аксиомы.

Равенство в неравенстве треугольника достигается, когда точки расположены на прямой. Чтобы сформулировать это требование для ранжирований, необходимо ввести аналог прямой.

В обычной евклидовой геометрии , точка А лежит на отрезке прямой , соединяющей B и C, при этом сумма расстояний от точки А до точек B и C, равна расстоянию между B и C.

В терминах понятия расстояния между отношениями, тот факт, что отношение А находится между отношениями В и С, характеризуется аналогично.

Наш особый интерес к понятию “между”, связан с тем, что при согласовании индивидуальных экспертных предпочтений, групповое решение, естественно искать среди множества всех тех предпочтений , которые расположены “в середине между”, исходными предпочтениями.

Отношение R лежит между отношениями и , если , т.е. если отношение R лежит между отношениями и , то оно должно содержать то общее, что есть в отношениях и (т.е. содержать в себе пересечение этих отношений) и само должно содержаться в отношении, аккумулируемых и .

Для произвольного числа отношений, запись такая:

Запись будет означать, что точка R лежит между точками , … .

Введем в рассмотрение для каждого ранжирования матрицу отношения . В ней на пересечении i и j ставим 1, если i предпочтительнее j и –1, если наоборот. “0”- если .

Можно ввести условие, определяющее, что будет лежать между и :

Из этого соответственно следует, что в ранжировании альтернатива может предпочитаться альтернативе , если хотя бы в одном из или , > .

Альтернативы и могут быть в ранжировании равноценными, если они равноценны в ранжированиях и или если в ранжировании и эти альтернативы упорядочены противоположным образом.

Аксиома 4. Ранжирование , расположенное между и в том случае, если:

Аксиома 5.

Рассмотрим ранжирование и , которые различаются лишь упорядочением альтернатив, занимающих с r+1-го до r+k-го места ( ). Обозначим через T( ) и T( ) ранжирования, получающегося из и , отбрасыванием альтернатив, занимающих от 1 до r-го места и от r+k+1-го до n-го места. Тогда:

Аксиома 6.

Т.е. значение меры близости между ранжированиями должно определятся лишь теми сегментами T( ) и T( ) ранжировании, на которых имеются реальные различия в упорядочивании альтернатив.

Последняя аксиома эквивалентна введению масштаба измерения.

Аксиома 7. Минимальное положительное расстояние между ранжированиями равно 1.

Можно доказать, что аксиомы 1-7, однозначно определяют меру близости на ранжированиях.

Значения искомой меры близости определяются по формуле:

Можно заметить, что – неотрицательно, поскольку каждое из слагаемых правой части неотрицательно.

Пример: расчет значений меры близости между ранжированиями.

им соответствуют матрицы отношений:

Между ранжированиями и значение меры близости =9.

Заметим, что расстояние между программными ранжированиями и можно рассчитывать лишь с помощью элементов матриц M( ) и M( ), расположенных под главной диагональю, т.е. можно пользоваться формулой: