VI.4.2 Коэффициенты ранговой корреляции

Пусть n объектов ранжированы дважды в соответствии с изменением их свойств X и Y. Получим 2-а упорядоченных ряда: : x,y- ранги, данные экспертами альтернативам

Условием применения методов ранговой корреляции, является равенство числа рангов числу измеряемых объектов. Т.е. сумма рангов должна быть равна числу альтернатив:

Пусть связь между рангами и определяется как , а связь между и - как . Величина определяется так: 0, =

= 1, <

-1, >

Аналогично введем коэффициент :

0, =

= 1, <

-1, >

Формула для вычисления ранговой корреляции по Кендалу будет такой:

- коэффициент близости ответов экспертов

где S- алгебраическая сумма числа высших рисков по отношению к каждому низшему рангу (взятому последовательно, как значение y и сопоставленному с рядом значений x в восходящем или нисходящим порядке). Вычисляется по формуле:

Для одного эксперта: записываем ранги в порядке убывания, тогда альтернативы будут записываться в соответствующем порядке.

Величина S определяется как оценок, равных +1 или –1 и определяемых путем сравнения текущего ранга со всеми последующими рангами . При этом каждой паре, следующей в прямом порядке, присваивается +1, а следующих в обратном порядке присваивается –1.

Пример использования ранговой корреляции Кендалла:

Данные для расчета .

альтернативы ранги эксперта №1 ранги эксперта №2

1 3

2 4 S=(7-2)+(6-2)+(7-0)+(6- 0)+(2-3)+(-0+4)+

3 1 +(-3+0)+(-0+2)+(-1+0)=23

4 2

5 8

6 5

7 10

8 6

9 9

10 7

Если проверить все возможные комбинации рангов и вычислить для них S, то оказывается: распределение частот для Sсимметрично и с увеличением n стремится к нормальному => принимается следующий критерий для проверки значимости полученного результата:

Если полученное S принимает значение такое, что случайное появление маловероятно, то гипотеза о независимости ответов экспертов отвергается: ,

где - уровень значимости.

Для примера: , =0,05 => коэфф. значим

=0,01 => коэфф. незначим, т.е. ответы экспертов некоррелированные.

Существует другой метод расчета коэффициента ранговой корреляции по Спирмену. Он удобен для быстрой прикидочной оценки связи между переменными.

Формула коэффициента ранговой корреляции имеет вид:

, - меняется от 0 до 1.

где d- разности между рангами данной пары сопоставляемых рядов;

n- число сопоставляемых пар.

Оба этих подхода- для 2-х экспертов. В более общем случае требуется проверка согласованности нескольких экспертов.

Лекция №18