Исследование переходных процессов в системах управления

Обратное преобразование Лапласа

Для получения решения системы дефиринциальных уравнений во временной области необходимо полученной решение в преобразованиях Лапласа представить в виде функции t.

(5)

Существуют таблицы обратных преобразований различных функций однако при наличии универсальных программных средств символьной математики обращаться к ним нет необходимости:

iLaplace (L(s), t),

где L(s)- прямое преобразование Лапласа,

t- аргумент искомой функции f(t)

syms a b s t l;

l = (a+b*s)/ s^2;

ilaplace(l,t)

ответ: ans = b + a*t

syms s t P;

P = (s^2+5*s+4)/(s*(s^2+5*s+5))

ilaplace(P,t)

ответ: P = (s^2 + 5*s + 4)/(s*(s^2 + 5*s + 5))

ans = (cosh((5^(1/2)*t)/2) + 5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/(5*exp((5*t)/2)) + 4/5

Задачи управления

При анализе систем управления задача формулируется следующим образом:

Дано: 1. Структурная схема системы(блок-схема)

2. передаточные функции звеньев системы

3. Значение переменных передаточных звеньев

Необходимо определить: 1. устойчивость системы управления

2. качество переходных процессов

3. точность системы

При синтезе системы управления задача формулируется иначе:

Необходимо создать из имеющихся звеньев структурную схему которая удовлетворяла условиям устойчивости (запас по фазе и амплитуде). Качество переходных процессов, форма переходного процесса, длительность , величина перерегулирования. Характерными особенностями исследований с помощью Matlab являются:

Простота

Высокая наглядность

Возможность получения характеристик системы практически любой сложности.

Matlab позволяет: 1. исследовать устойчивость системы управления

2. Получать переходные и частотные характеристики системы

3. Исследовать качество переходных процессов

4. Выбрать параметры звеньев. Вид , и характеристики обратной связи с целью обеспечения требуемых динамических свойств системы.

Функции Matlab для создания передаточных функций звеньев системы

Функция tf()

tf(n,m) где n- вектор коэффициента знаменателя

m – вектор коэффициента передаточной функции

функция tf() служит для функций и звеньев в целом.

Необходимо передать функцию

n = [2 5]

m= [1 0 2 1]

q=tf(n,m)

ответ: Transfer function:

2 s + 5

----------------

s^3 + 2 s + 1

Функции pole() и zero()

Предназначены для определения соответственных полюсов и нулей передаточной функции.

Они имеют вид:

pole(qs)

zero(qs)

где qs – имя передаточной функции заданной оператором tf()

Нулями передаточной функции называются корни числителя а полюсами корни знаменателя.

n = [2 5]

m= [1 0 2 1]

q=tf(n,m)

p= pole(q)

z= zero(q)

ответ: p = 0.2267 + 1.4677i

0.2267 - 1.4677i

-0.4534

z =-2.5000

Функции roots(p) и poly(r)

Функции перднозначены соответственно для вычисления корней полинома и его восстановления по значениям корней.

Эти функции имеют вид:

roots(p)

poly(r)

p – вектор коэффициентов полинома

r – вектор корней полинома

p= [1 3 0 4]

r= roots(p)

p= poly(r)

Ответ: r = -3.3553

0.1777 + 1.0773i

0.1777 - 1.0773i

p = 1.0000 3.0000 -0.0000 4.0000

Функцияconv()

Conv(P,q),

где P,q – векторы коэффициентов полиномов P(s) и q(s)

p=[3 2 1]

q= [1 4]

g=conv(p,q)

Ответ: g = 3 14 9 4

Функцияpolyval()

polyval(n,k) где n- векторполинома

k- значение переменной s

p=[3 2 1]

z=polyval(p,-2)

Ответ: z = 9

Операции с передаточными функциями звеньев

Сложение передаточных функций

n1=[10]

m1=[1 2 5]

n2=[2 12 15]

m2=[1 3 7 5]

z1=tf(n1,m1)

z2=tf(n2,m2)

G=z1+z2

Ответ: Transfer function:

10

----------------

s^2 + 2 s + 5

Transfer function:

2 s^2 + 12 s + 15

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5

Transfer function:

2 s^4 + 26 s^3 + 79 s^2 + 160 s + 125

-----------------------------------------

s^5 + 5 s^4 + 18 s^3 + 34 s^2 + 45 s + 25