Исходя из определения передаточной функции

,

где и - изображение входной и выходной координат, записываем уравнение связи

Заменяя в W(p) оператор p на символ дифференцирования и одновременно меняя y(p) на y(t) и x(p) на x(t), получаем оригинал уравнения связи. Пусть W(p)=b(p)/c(p), тогда уравнение связи имеет вид:

c(p)y(t)=b(p)x(t), где р=d/dt.

Используя обратные преобразования Лапласа, определяем переходную и весовую функции ; .

Заменяя в W(p) оператор p на j , получим комплексный коэффициент передачи .

Записывая W(j ) в показательной W(j )=A( )e и алгебраической формах W(j )=U( )+jV( ), определим амплитудно–частотную A( ), фазо–частотную , вещественную частотную и мнимую частотную функции. По полученным выражениям построим временные и частотные характеристики, включая логарифмическую амплитудно–частотную характеристику (ЛАЧХ):

L( )=20 lg .

Пропорциональное звено. Связь между мгновенными значениями входной x(t) и выходной y(t) координат пропорционального (безынерционного) звена описывается алгебраическим уравнением.

Полагая х(t)=K1₀(t) и х(t)= (t), будем иметь:

h(t)=K1₀(t); W(t)=K (t).

Частотные характеристики

W (j )=W(p) =K; A( )= ;

p=j

=arg W(j )=0; U( )=K; V( )=0; L( )=20 lgA( )=20 lgK.

Важный результат следует из анализа A( ) и : безынерционное звено пропускает сигналы любой частоты с одинаковым коэффициентом передачи (усиления или ослабления) и не создает фазового сдвига между входным и выходным сигналами. Характеристики безынерционного звена приведены на рис.2.5.

Следует отметить, что понятие безынерционного звена является математической идеализацией, поскольку все реальные технические элементы обладают определенной инерционностью, препятствующей мгновенной передаче энергии или вещества со входа на выход элемента. Если инерционность элемента на два-три порядка меньше, чем у остальных элементов рассматриваемой системы, то его можно считать безынерционным. К безынерционным элементам часто относят: операционный усилитель, используемый в режиме масштабного усилителя; блок умножения дискретных сигналов; редуктор; делитель напряжения; тахогенератор, используемый в качестве датчика частоты вращения инерционного объекта.

Рис.2.5 Характеристики безынерционного звена

Апериодическое звено первого порядка. Исходя из определения передаточной функции ,

получим уравнение связи (Tp+1)y(p)=Kx(p).

Заменяя y(p) на y(t), x(p) на x(t) и принимая p за символ дифференцирования, получим дифференциальное уравнение (Tp+1)y(t)=Kx(t), где p= .

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, определим переходную и весовую функции

;

.

Аналогичный результат, естественно, должен получиться, если дифференциальное уравнение решать классическим способом, в соответствии с которым при x(t)=1₀(t) решение неоднородного уравнения – равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения : .

задается в виде экспоненты , где c – постоянная интегрирования, – корень характеристического уравнения. проще найти, рассматривая установившийся режим работы, т.е. полагая . При этом , окончательно получаем с учетом нулевых начальных условий , где символ опущен.

Комплексный коэффициент передачи

,

т.е. ; .

АЧХ является модулем , т.е.

,

а ФЧХ – аргументом : .