Если реальная система имеет разомкнутый контур вида

,

или ,

где  ...> , то базовые параметры вычисляются соответственно по следующим формулам:

, ,

или , .

Корневые показатели. Рассматриваемые показатели определяются по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы (3.18)

на комплексной плоскости (рис. 3.16). Для выделения области устойчивости вычисляют параметры: степень устойчивости , колебательность и значение вещественной части максимально удаленного корня от мнимой оси.

Рис. 3.16 Корневые показатели качества

Чем больше отношение , тем больше оснований к упрощению модели системы.

Степень устойчивости определяет приближенно скорость затухания переходного процесса. Составляющая решения y_i(t) дифференциального уравнения (3.19), определяемая степенью устойчивости, имеет вид для случая вещественного корня или для случая, когда среди корней есть пара комплексно-сопряженных. В обоих случаях затухание переходного процесса определяется экспоненциальной составляющей с показателем степени равным минус .

Принимая, что в конце переходного процесса , получим , где знак равенства относится к случаю действительного доминирующего (ближе расположенного к мнимой оси) корня, а неравенства – комплексных доминирующих корней.

Доминирующим корням соответствуют наибольшие постоянные времени, которые стараются скомпенсировать при выборе параметров настройки регуляторов и тем самым повысить быстродействие. Максимальное быстродействие достигается при небольшом перерегулировании .

Колебательностью (или степенью колебательности) системы  называют наибольшее отношение .

В практических задачах чаще используют корневой показатель колебательности . Колебательные свойства системы предопределяет та пара комплексных корней, для которой максимально. При выборе настроечных параметров регулятора обычно стремятся получить m в пределах от 0.2 до 0.5.

Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней характеристического уравнения замкнутой системы , которое можно вычислить по следующей формуле

.

Чем меньше , тем больше длительность переходного процесса. Для колебательного звена показатель равен частоте незатухающих колебаний .

Корневые показатели , , важны для понимания проблемы качества и ее связи с проблемой устойчивости, но используются реже частотных показателей, поскольку их непосредственное определение для систем высокого порядка представляет собой громоздкую вычислительную задачу.

При наличии нулей передаточной функции замкнутой системы оценка качества только по ее полюсам может привести к существенным ошибкам. Наличие нулей способствует увеличению перерегулирования и уменьшению длительности переходного процесса.

Интегральные показатели качества. Интегральные показатели качества (оценки) позволяют оценить быстродействие и отклонения выходной величины y(t) от установившегося значения одним числом. Широко используется линейные и квадратичные интегральные оценки.

Простейшая линейная интегральная оценка равна площади, заключенной между прямой и кривой переходного процесса y(t) (рис. 3.17, а).

Рис. 3.17. Линейные интегральные оценки переходного процесса по

задающему (а) и возмущающему (б) воздействиям; квадратичная

интегральная оценка по задающему воздействию (в).

Учитывая, что , где v – задающее воздействие, е_уст – установившаяся ошибка, получим ,

где – переходная составляющая рассогласования (ошибки).

Соответственно можно определить и в таком виде:

.

Интеграл I_л соответствует площади под кривой переходной составляющей сигнала ошибки, вызванной изменением задающего воздействия (рис.3.17,а) или возмущения (рис.3.17,б), и может быть использован для оценки качества управления заведомо не колебательных процессов.

Линейная интегральная оценка равна коэффициенту ошибки (см.§3.1) и может быть вычислена , где – изображение по Лапласу, а – передаточная функция замкнутой системы по рассматриваемому каналу.

Если , то , т.е. качество переходного процесса в апериодическом звене определяется произведением : чем больше , тем хуже качество переходного процесса.