Для колебательных переходных процессов применяют простые

и модифицированные модульные интегральные оценки

.

Оценка придает больший вес тем значениям сигнала ошибки, которые имеют место в конце переходного процесса.

Модифицированные модульные оценки можно использовать только при исследовании систем на моделях, так как их вычисление через коэффициенты передаточной функции невозможно.

В инженерной практике наибольшее распространение получили квадратичные и улучшенные квадратичные интегральные оценки.

При использовании оценки наибольшее влияние на конечное значение интеграла приобретают начальные (большие) отклонения сигнала .

Недостаток оценок и в том, что если или , то должна изменяться по закону ступенчатой функции, т.е. динамика системы в идеале заменяется безынерционным звеном, что практически нереализуемо и нерационально (безынерционное звено полезный сигнал и помехи пропускает с одинаковым коэффициентом передачи).

Покажем, что при применении переходный процесс в идеале будет изменяться по экспоненциальному закону с постоянной времени . Представим в виде

.

Второй интеграл

,

имеет постоянное значение для конкретной задачи. Поэтому I_кв.у будет иметь минимальное значение, если . При этом

.

Весовой коэффициент обычно выбирают в пределах . Увеличение означает предпочтение системам с медленно затухающими процессами.

Вычисление I_кв обычно выполняют, используя формулу Рэлея (Парсеваля) ,

где ; .

В более общем случае вместо h_уст может быть взята некоторая эталонная кривая, например, экспонента.

Ниже приведены формулы для вычисления I_кв по изображению сигнала e_n(p) при

;

: ; : ;

: ;

:

В более полных курсах ТАУ приведены соответствующие формулы для вычисления I_кв при n  10.

Интегральные оценки широко используются в качестве критерия оптимальности при синтезе САУ.

Чувствительность СУ. Вследствие изменения внешних условий, старения элементов и других причин параметры системы изменяются. Система становится нестационарной. Если изменения операторов во времени существенно медленнее собственных и вынужденных процессов, то имеет место квазистационарность. Квазистационарную систему обычно удается описать совокупностью стационарных моделей, различающихся структурой и коэффициентами операторов.

Если на исследуемом временном интервале могут меняться в определенных пределах параметры системы, то говорят о параметрической (структурированной) неопределенности. Модели систем, подверженных параметрическим возмущениям, могут быть представлены дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами или приближенно совокупностью стационарных моделей, различающихся значениями параметров.

Если вариациям подвержены операторы звеньев системы, то имеет место неструктурированная неопределенность.

Чувствительность количественно характеризует влияние малых изменений свойств элементов на свойства системы. Важно, чтобы малые изменения операторов звеньев не приводили к большим (качественным) изменениям свойств системы. Системы, малочувствительные к вариациям операторов звеньев, называют грубыми (робастными).

Различают абсолютную и относительную чувствительности оператора системы к вариации звена.

Абсолютная чувствительность (функция чувствительности) системы к оператору звена W(p) определяется как частная производная

.

Оператор системы может быть представлен передаточной функцией, комплексным коэффициентом передачи или другой функцией. Под величиной функции чувствительности имеют ввиду ее модуль.

Функция чувствительности звена к вариациям параметра определяется следующей зависимостью

,

где – расчетное (исходное) значение .

Зная функции чувствительности можно найти возможную вариацию оператора

.

Вариацию оператора при наличии ряда параметрических возмущений вычисляют с использованием принципа суперпозиции

.

Относительная чувствительность оператора системы Ф(р) к вариации звена W(p) равна

и отражает связь между относительными вариациями передаточных функций системы и звена , где – вариация передаточной функции системы.

Рассмотрим чувствительность систем с типовой структурой. Если в системе

изменяются характеристики звена , то абсолютная и относительная чувствительности соответственно равны

, .

Это означает, что изменение модуля передаточной функции (комплексного коэффициента передачи) одного звена приводит к пропорциональному изменению передаточной функции системы, образованной последовательным соединением звеньев.

Если рассматривать параллельное соединение звеньев и , то будем иметь ; .

В частном случае имеем , т.е. при параллельном соединении звеньев чувствительность системы к вариациям одного из звеньев можно уменьшить увеличением передаточных свойств звена со стабильными характеристиками.

Передаточная функция системы с отрицательной обратной связью (см.рис.2.15в) равна

.

Пусть нестабильно звено прямой передачи сигнала. При этом будем иметь

; .

Если усиление контура велико, т.е. , то . Иными словами: отрицательная обратная связь позволяет существенно уменьшить влияние изменений передаточных свойств прямого канала на свойства системы в тех интервалах частот, где коэффициент передачи разомкнутого контура много больше единицы. Следует напомнить, что большое усиление контура обеспечивает инвариантность выходной переменной и к координатным возмущениям (см.§3.1).

Если изменениям подвержено звено обратной связи, то

; .

При повышении коэффициента передачи относительная чувствительность , что свидетельствует о необходимости стабильной обратной связи.

Чувствительность характеристических полиномов позволяет анализировать влияние свойств звеньев на условия устойчивости и характер переходных процессов. Чувствительность показателей качества оценивается коэффициентами чувствительности.

Применение функций чувствительности обычно допустимо при вариации параметров не более 25  30% от их номинальных значений.

Заключение. Массовое применение вычислительной техники расширяет возможности прямого метода исследования переходного процесса.

Для линейных систем с постоянными параметрами главная задача исследования качества – определение влияния структуры и параметров системы на быстроту и плавность протекания переходного процесса – может успешно решаться использованием косвенных показателей качества.

Частотные показатели отличаются простотой и наглядностью оценки изменений в характеристиках системы, вызванных изменением ее структуры и параметров, и позволяют использовать как расчетные, так и экспериментальные характеристики разомкнутой системы для определения ее качества после замыкания.

Корневые методы удобны для детального исследования качества линейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями третьего порядка.

Интегральные оценки широко применяются для сопоставления различных параметров настройки регулятора одной и той же системы, синтеза оптимальных систем.

Ограниченная чувствительность (грубость, робастность) систем к вариациям характеристик элементов или связей является безусловным требованием к свойствам СУ. Инвариантность выхода системы при стабильной обратной связи к координатным (сигнальным) и параметрическим возмущениям и ковариантность выхода с задающим воздействием обеспечивается в тех интервалах частот, где коэффициент передачи контура велик.

134