§2.2 Операторная форма записи линейных моделей

Понятие о статических и динамических характеристиках элементов и систем. Термины система, подсистема, звено можно рассматривать как синонимы, если их математические модели однотипны. В данной главе рассматриваются одноканальные объекты (звенья), в которых есть только одна выходная переменная. По характеру реакции на входное воздействие звенья могут быть разделены на статические (безынерционные) и динамические (инерционные). В статической системе выход y(t) для каждого момента времени t однозначно определяется по значениям входного воздействия U(t) в тот же момент. В динамических системах y(t) зависит не только от U(t) в тот же момент времени, но и от предыстории изменения входа в некотором интервале U[t₀, t₁] и совокупности величин x(t₀), определяющих начальное состояние системы.

В ТАУ основное внимание уделяют динамическим САУ, в которых выделяют неустановившийся (переходной), установившийся и статический режимы работы. Переходной режим является реакцией системы (элемента) на вновь появившееся воздействие. Характер переходного процесса зависит от типа воздействия и собственных свойств системы. Установившийся (вынужденный) режим – это режим, в котором выходная величина изменяется по закону, определяемому входным воздействием. Установившийся режим имеет место после окончания переходного процесса. Статический режим – это установившийся режим при постоянном входном воздействии. Зависимость выходной величины элемента или системы от входных переменных в установившимся режиме называется статической характеристикой.

Примером статической характеристики генератора постоянного тока независимого возбуждения может служить внешняя характеристика (рис.2.1б), представляющая собой зависимость напряжения U на клеммах генератора от тока нагрузки при постоянных токе возбуждения и скорости вращения якоря. Режим, на который, как правило, рассчитана работа генератора или другого технического устройства, будем называть базовым или номинальным (обозначен индексом О). В общем случае статические характеристики являются нелинейными.

Рис.2.1 Принципиальная схема генератора постоянного тока (а)

и его внешняя характеристика (б)

Линеаризация. Переходные (неустановившиеся) режимы в большинстве случаев описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Обычно стремятся заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе (элементе). Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией. Переход к линейным уравнениям существенно упрощает моделирование, анализ и синтез САУ.

В нормально функционирующей САУ фактический режим обычно незначительно отличается от номинального режима. Это позволяет произвести линеаризацию, раскладывая нелинейные функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, если линеаризуемая функция обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности базового режима.

Геометрически линеаризация означает (рис.2.2) замену исходной кривой АВ отрезком ее касательной в точке 0, соответствующей базовому режиму.

Рис.2.2 Линеаризация кривой АВ

Линеаризованное уравнение удобно записывать в отклонениях от базового режима, что равносильно переносу начала координат в точку 0. Уравнение касательной в отклонениях имеет вид:

,

где – коэффициент передачи; , .

Значение является мерой статизма элемента или системы. Если =0 (выходная координата не зависит от входной), то элемент (система) является астатическим относительно рассматриваемой входной координаты.

Рассмотренный прием можно применить и для линеаризации дифференциального уравнения. Для примера рассмотрим уравнение второго порядка

,

где и – первые производные по времени;

– вторая производная по времени.

Линеаризуя это уравнение, получим:

.

Таким образом, линеаризация функции (уравнения) сводится к составлению суммы произведений частных производных линеаризуемой функции (уравнения) по каждому аргументу, вычисленных в точке, соответствующей базовому режиму функционирования объекта (системы), на отклонение аргумента, по которому выполнялось дифференцирование.

Система (элемент), процессы в которой описываются линейными (линеаризованными) уравнениями, является линейной.

Линейные операторы обладают свойствами однородности и аддитивности. Это означает, что в линейной системе выходная переменная изменяется пропорционально усилению (ослаблению) входного воздействия, а реакция на сумму любых воздействий равна сумме реакций на эти воздействия. Иными словами реакция линейной системы на линейную комбинацию воздействий равна той же линейной комбинации реакций системы на каждое воздействие в отдельности. Это свойство, называемое принципом суперпозиции, в частности, позволяет исследовать СУ относительно каждого внешнего воздействия без учета остальных воздействий, что существенно упрощает решение задач анализа и синтеза.

Рассмотренная методика линеаризации применима для функций, которые можно разложить в ряд Тейлора, т.е. когда функция является аналитической в рабочей области.

Форма записи дифференциальных уравнений. Математические модели элементов и системы в целом в ТАУ часто представляют обыкновенными дифференциальными уравнениями записанными в операторной (символической) форме, основанное на использовании условного (символического) обозначения производных и интеграла: , где =1,2,3…; .

При записи дифференциальных уравнений в операторной форме оператор следует рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение – как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо рy писать .

Дифференциальные уравнения в ТАУ обычно приводят к стандартной форме, для чего делят все члены уравнения на коэффициент слагаемого при выходной координате, не содержащего оператор . Если коэффициент равен нулю, деление выполняют на первый, отличный от нуля, коэффициент при самой младшей производной от выходной координаты.

При записи линейных уравнений в ТАУ принято выходную величину и ее производные записывать в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую часть. Все перечисленные правила делают запись дифференциальных уравнений более компактной и удобной для практического применения.

Пусть объект описывается следующим уравнением

.

Вводя оператор (символ) дифференцирования , получим:

,

или в более компактной форме

.

Запишем последнее уравнение в стандартной форме:

.

Широко пользуются следующими обозначениями: .

Коэффициенты и имеют размерность времени и называются постоянными времени. Коэффициент передачи характеризует передаточное отношение элемента (системы) в установившемся режиме. Размерность определяется размерностями переменных и .

С учетом принятых обозначений исходное дифференциальное уравнение приводим к стандартной форме:

Решить уравнение, т.е. найти реакцию элемента на изменение , можно, если задан закон изменения и определены начальные условия

; ; .

В ТАУ широко пользуются нулевыми начальными условиями, полагая:

.

В более общем случае модель вида «вход–выход» описывается скалярным обыкновенным линейным дифференциальным уравнением –порядка с постоянными коэффициентами, которые, используя операторные полиномы и или А(р) и В(р), можно записать в компактной форме

, (2.1)

где – собственный оператор;

– оператор воздействия.

Понятие о передаточной функции. Уравнение (2.1) часто представляют в следующем виде

. (2.2)

Отношение оператора воздействия к собственному оператору звена называют операторной передаточной функцией W(p), которую записывают не производя возможных сокращений. Запись (2.2) является чисто символической и не дает решения уравнения (2.1).

Для рассматриваемого примера:

.

Передаточная функция не зависит от закона изменения внешнего воздействия и определяется только свойствами элемента относительно выбранного воздействия. При одной выходной координате число , характеризующих динамику элемента, определяется числом входных переменных.

Более строгое определение передаточной функции как наиболее компактной формы описания динамических свойств элементов и систем основано на применении преобразования Лапласа. При этом считается, что рассматриваемой функции времени , которую называют оригиналом, можно найти «лапласово изображение» :

,

где – комплексная переменная.

Преобразование Лапласа возможно, если: при ; при растет не быстрее некоторой показательной функции , где и постоянные; на любом конечном отрезке времени однозначна, конечна и кусочно–непрерывна.

Составлены таблицы (примеры даны в табл.2.1), позволяющие определять изображение по оригиналу и выполнять обратное преобразование Лапласа, т.е. находить оригинал по изображению.

В основе этого способа перехода от дифференциальных уравнений к передаточным функциям лежат следующие правила:

; ,

справедливые при нулевых начальных условиях. Здесь – символ интеграла Лапласа (читается Лапласиан). Обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал по изображению, обозначают .

Применим приведенные правила к дифференциальному уравнению второго порядка

,

получим алгебраическое уравнение

,

где – комплексная переменная.

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией

.

Совпадение по форме выражений для передаточных функций, полученных с использованием операционного исчисления (преобразования Лапласа) и символической (операторной) записи дифференциального уравнения, позволяет определять по дифференциальному уравнению без преобразования его по Лапласу. Следует подчеркнуть, что сходство между этими чисто внешнее и имеет место лишь для стационарных систем, т.е. для случая, когда коэффициенты уравнения постоянны.

Таблица 2.1

Изображение простейших функций времени по Лапласу

Таким образом, передаточную функцию формально можно получить из линейного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях, путем замены в нем символа дифференцирования оператором и деления образующегося при этом коэффициента или многочлена правой части (оператора воздействия) уравнения на многочлен левой части (собственный оператор). При таком переходе следует избегать сокращения общих делителей полиномов числителей и знаменателей (диполей рациональных функций). Такое сокращение приводит к потере составляющих свободных движений, вызванных ненулевыми предначальными условиями.

Оператор W(p), связывающий вход звена с выходом, характеризуется структурой и параметрами. Параметрами оператора являются коэффициенты полиномов А(р) и В(р), а структура определяется заданием степеней n и m (2.1), где n – определяет порядок дифференциального уравнения.

Наряду с полиноминальной формой (2.2) передаточная функция может быть задана в факторизованном виде

, (2.3)

где – множество нулей, т.е. корней уравнения В(р)=0;

– множество полюсов, т.е. корней уравнения А(р)=0.

Передаточные функции, все нули и полюсы которых находятся в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми.

Понятие о временных и частотных характеристиках звеньев и систем. Наглядное представление о свойствах элемента (системы) дает решение дифференциального уравнения, описывающего его динамику при типовых (регулярных) внешних воздействиях и нулевых начальных условиях.

В качестве типовых воздействий обычно используют единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисайда) ; единичную импульсную функцию (дельта-функцию) ; гармоническую функцию .

Аналитическое представление единичной ступенчатой функции имеет вид .

Реакцию элемента (системы) при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия и нулевых начальных условиях называют переходной функцией и обозначают . График зависимости от времени называется переходной характеристикой (рис.2.3).

Рис.2.3 Графики и

Дельта-функция аналитически определяется следующим образом:

; .

Реакцию элемента (системы) при подаче на его вход сигнала в форме дельта–функции и нулевых начальных условиях называют импульсной переходной функцией (функцией веса); обозначают эту функцию . График называют импульсной переходной характеристикой. Рис.2.4а поясняет определение , а на рис.2.4б приведены график, упрощенно трактующий понятие дельта–функции, и пример характеристики .

Рис.2.4 Наглядное представление определения (рис.а)

и графики и (рис.б)

Дельта–функция обладает следующими важными свойствами.

; ; .

Передаточная, переходная и весовая функции связаны между собой следующими соотношениями:

; ; .

Если известна функция веса W(t), то реакция элемента (системы) y(t) на переменную x(t) определяется интегралом свертки , т.е. оператор преобразования имеет форму интегрального уравнения.

Частотные характеристики, определяющие взаимосвязь между параметрами установившихся периодических входных и выходных сигналов, является важной формой представления динамических характеристик объектов и систем управления. С математической точки зрения гармоническое воздействие может рассматриваться как сумма двух экспоненциальных воздействий

Использование экспоненциальных функций удобно, так как производная и интеграл от таких функций представляет собой экспоненциальные функции.

К линейным системам применим принцип суперпозиции, поэтому при решении конкретных задач ищется эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных воздействий в отдельности.

Вынужденные колебания, вызываемые в линейной динамической системе гармоническим воздействием, представляют собой также гармоническую функцию времени, имеющую ту же угловую частоту ω, что и воздействие, но отличающееся от последнего по амплитуде и по фазе.

Частотная передаточная функция , которую часто называют комплексным коэффициентом передачи, получается заменой на в передаточной функции , т.е.

Функцию можно представить в виде

,

где ; ; , , и ( ) – соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные функции. Графики зависимости , , и называют амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотными характеристиками, а годограф вектора при изменении частоты от 0 до (или от – до ) – амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Минимально–фазовым передаточным функциям соответствуют меньшие по модулю фазовые сдвиги в сравнении с другими W(p), имеющими ту же АЧХ, но часть нулей и/или полюсов которых расположена справа от мнимой оси. Для минимально-фазовых систем характерно наличие однозначной связи A(ω) с φ(ω), что существенно упрощает анализ и синтез таких систем.

Функцию называют логарифмической амплитудной частотной функцией, а график зависимости от логарифма частоты – логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, но на отметках, соответствующих , пишут значение , а не . Единицей является децибел. Интервал, на котором изменяется частота в 10 раз, называется декадой.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции ( ) от логарифма частоты .

Расчет временных характеристик. В ТАУ для решения дифференциальных уравнений широко используют операционный метод, позволяющий учесть и ненулевые начальные условия.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1) и типовых воздействий y(p) является дробно-рациональной функцией.

, (2.4)

причем m<n и коэффициенты а_i и b_i действительные. Если известны полюсы, то указанную зависимость можно переписать в виде

, (2.5)

где – кратность корня p_i.

При различных вещественных или комплексных корнях оригинал определяется формулой

, (2.6)

где ; – производная по р.

Если один из корней изображения равен нулю, т.е.

,то

. (2.7)

В практических расчетах при вычислении временных характеристик находит применение метод неопределенных коэффициентов, в соответствии с которым y(p) представляют в виде суммы простых дробей с последующим определением оригинала для каждого слагаемого.

Поясним этот метод на примере

.

Разложив y(p) на сумму простых дробей

и приведя к общему знаменателю, получим

.

Приравнивая коэффициенты числителей при одинаковых степенях р, имеем систему уравнений, решая которую находим А= –1, В= –1, С=3, D= –2.

Поскольку ; ; , получим искомую зависимость

.

Упростить вычисление переходной функции h(t) по изображению y(p) вида (2.4) при

можно, если вначале определить переходную функцию h₀(t) при В(р)=1. Затем вычисляется переходная функция h(t), соответствующая заданному оператору В(р) по формуле

.

В общем случае система, описываемая уравнением (2.1), в момент подачи входного сигнала х(t) может иметь ненулевые начальные условия

.

Учитывая следующее свойство изображений

,

преобразуем уравнение (2.1) по Лапласу:

Используя ранее принятые (2.1) обозначения А(р) и В(р), запишем зависимость, определяющую изображение выходного сигнала[1]

, (2.8)

где

полином, определяемый ненулевым состоянием системы в момент, предшествующий воздействию х(t), т.е. предначальными условиями. Ненулевое предначальное состояние может быть порождено воздействием, поступившим на систему на промежутке .

Если х(р) представить в виде , (2.9)

то . (2.10)

Выходной сигнал, соответствующий изображению y(p), равен

, (2.11)

где ;

;

,

– полюсы передаточной функции В(р)/A(p);

– полюсы изображения воздействия С(р)/D(p);

, т.е. полюсы воздействия не равны полюсам передаточной функции.

Установившееся вынужденное движение при обработке воздействия х(t) порождается его полюсами.

Переходная составляющая вынужденного движения , характеризующая динамические (инерционные) свойства системы, образуется из-за изменения начальных условий внешним воздействием в начальный момент времени (t=0).

Свободное движение вызвано ненулевыми предначальными условиями. Закономерности изменений и определяются полюсами передаточной функции.

Если полиномы А(р) и В(р) не являются взаимно простыми, т.е. имеют диполи – нетривиальные общие делители , то система называется неполной, а передаточная функция вырожденной. Реакция такой системы на типовые воздействия, т.е. временные характеристики h(t) и W(t), не отражают полностью собственные свойства системы. Сокращать диполи вырожденной W(р) не рекомендуется, а в случае правого полюса – недопустимо. Поэтому анализу систем должно предшествовать определение возможности наличия общих делителей в операторных полиномах передаточной функции.

Если предначальные условия, вызванные воздействием, приложенным к любому из входов, таковы, что , то содержит составляющую (моду), соответствующую полюсу .

Анализ зависимости (2.11) позволяет найти и условия удовлетворительного воспроизведения входного воздействия.

Заключение. Динамические свойства одномерных (одноканальных) линейных звеньев и систем могут быть представлены дифференциальными уравнениями, передаточными, переходными, весовыми и частотными функциями. Перечисленные преобразования входных переменных в выходные являются основными формами представления конечномерных линейных стационарных детерминированных операторов. Следует подчеркнуть, что частотные характеристики определяются в установившемся (вынужденном) режиме работы элемента (системы), но характеризуют и динамические свойства исследуемого объекта.

Амплитудно–частотная характеристика имеет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной, и определяет зависимость коэффициента передачи звена от частоты. Фазо–частотная характеристика показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает звено при различных частотах. Реальные технологические объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы, т.е. ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг.

Амплитудно-частотные характеристики в логарифмических координатах можно аппроксимировать отрезками прямых линий и строить без громоздких вычислений. ЛАЧХ – удобная для практических расчетов форма представления частотных характеристик.

Все перечисленные функции (характеристики) однозначно связаны с уравнением звена (системы). Временные и частотные характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Переходу от экспериментально полученных временных или частотных характеристик к передаточной функции обычно предшествует выбор структуры оператора. Результаты такого перехода неоднозначны, т.к. зависят от выбора структуры W(p) оператора и алгоритма обработки данных. Реакция неполной системы, т.е. системы с вырожденной передаточной функцией, на типовые воздействия не отражает полностью собственные свойства системы.