§3.2 Условия и критерии устойчивости

Понятие и общие условия устойчивости. В простейшем случае понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения возмущений, которые вывели ее из этого состояния. Понятие устойчивости можно распространить и на более общий случай, когда в качестве невозмущенного состояния рассматривают не положение равновесия системы, а ее движение, например, движение системы по некоторой наперед заданной траектории.

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если после приложения внешних сил (возмущений), которые затем снимают, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область , где – заданные величины. При этом нужно иметь в виду, что близость траекторий является необходимым, но недостаточным условием устойчивости: расстояние между двумя точками возмущенного и невозмущенного движения может возрастать не только для расходящихся, но и для близких траекторий.

Впервые строгое определение устойчивости дано русским ученым А.М.Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения».

В этой работе А.М.Ляпунов, в частности, доказал возможность исследования устойчивости реальных систем, которые всегда нелинейны, по линеаризованным уравнениям, получаемым путем отбрасывания членов, содержащих различные нелинейности.

Согласно данному выше физическому определению устойчивость зависит от характера свободного движения системы, которое описывается однородным дифференциальным уравнением.

Если свободное движение описывается уравнением

, (3.10)

то возвращение системы в исходное состояние после окончания действия возмущения математически означает

. (3.11)

Такую устойчивость принято называть асимптотической.