Используя (2.15) и (2.16), составим характеристическое уравнение системы

.

Если , , , то необходимое условие устойчивости выполняется. Исходя из достаточного условия устойчивости для системы третьего порядка (3.16), получим или .

Таким образом, апериодическая граница устойчивости (3.14) имеет место при , а колебательная граница (3.15) при

Диапазон изменения от 0 до определяет область устойчивости системы по параметру (рис.3.8, а).

Изменяя и , можно определить область устойчивости по двум параметрам (рис.3.8,б). Апериодическая граница совпадает с осью , а колебательная граница имеет вид гиперболы с асимптотами и .

Можно выделить асимптотическую границу устойчивости , которая совпадает с осью абсцисс .

И з рассмотренного примера в частности следует, что с увеличением и область устойчивости сужается.

а ) б)

0

0 К

Рис. 3.8 Области устойчивости системы по одному (а) и двум (б) параметрам

Для систем высокого порядка предпочтительнее применять критерий Рауса, который позволяет быстро определить устойчивость системы по известному характеристическому полиному А(р). Критерий Рауса удобен для программирования, экономичен по объему вычислений и широко используется для анализа влияния параметров системы на ее устойчивость /22/.

Критерий Михайлова. Частотные критерии (Михайлова и Найквиста) являются графоаналитическими. Они имеют простую геометрическую интерпретацию, наглядность, позволяют исследовать устойчивость систем высокого порядка, что и послужило широкому распространению критериев этого вида.

Критерий Михайлова, как и критерий Гурвица, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому эти критерии можно использовать для анализа как замкнутых, так и разомкнутых систем.

Запишем характеристический полином (2.16) замкнутой системы в виде суммы полиномов знаменателя и числителя передаточной функции разомкнутой системы

, (3.18)

где

Если полиномы и имеют нетривиальный общий делитель, то необходимое условие устойчивости замкнутой системы – все общие делители должны иметь отрицательную вещественную часть.

Формулировка критерия Михайлова: линейная САУ, описываемая уравнением -го порядка, устойчива, если при изменении частоты от нуля до годограф вектора , начинаясь при на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно в положительном направлении квадрантов. Здесь получается из характеристического полинома а(р) (см.3.18) заменой на .

Вектор называют вектором Михайлова, а кривую, которую описывает при изменении от нуля до – характеристической кривой или годографом Михайлова. Для построения годографа Михайлова вектор можно представить в виде действительной и мнимой частей: .

Примеры характеристических кривых, соответствующих устойчивым

системам показаны на рис.3.9 а; неустойчивых – на рис.3.9 б; системам находящимся на апериодической границе устойчивости – на рис.3.9 в, на колебательной – на рис.3.9 г.

Из рис.3.9 а следует, что система -го порядка устойчива, если годограф при начинается на действительной оси и при увеличении частоты от нуля до последовательно пересекает вещественные и мнимые оси (критерий перемежаемости корней). Если годограф проходит квадрантов не последовательно (рис.3.9 б) или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива. Если годограф при начинается из начала координат (рис.3.9 в), то система находится на апериодической границе устойчивости, а если проходит через начало координат (рис.3.9 г) при , то – на колебательной границе устойчивости.

а ) jV б) jV в) jV

U U U

г)

jV

U

Рис.3.9 Характеристические кривые

(годографы) Михайлова

Используя критерий Михайлова, определим границы устойчивости для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе. Используя структурную схему (рис.3.7), составим характеристический полином

.

Заменяя на , получим вектор Михайлова:

,

при этом: ; .

Апериодическая граница имеет место, если при , т.е. при . Колебательную границу находим, решая систему

, где .

После очевидных преобразований получим .

Недостаток критерия Михайлова: с увеличением порядка САУ объем вычислений резко возрастает. Современные эффективные высокопроизводительные алгоритмы и программы расчета позволяют решать подобные задачи.

Критерий Найквиста. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) ее разомкнутой части. Построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем годографа Михайлова. Критерий Найквиста можно использовать, если необходимо сделать оценку устойчивости на основе экспериментального определения частотных характеристик. Этот критерий удобно использовать и для анализа устойчивости систем, содержащих звено запаздывания.

Разомкнутая подсистема может быть устойчивой, неустойчивой или находиться на границе устойчивости. Сделать суждение об устойчивости разомкнутой части можно, используя критерий Гурвица или Михайлова. Во многих практически важных случаях устойчивость разомкнутого контура может быть оценена непосредственно по виду входящих в контур звеньев.

Основная формулировка критерия Найквиста.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутого контура не охватывает точку с координатами . Особая роль точки заключается в том, что она, во-первых, соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную и, во-вторых является границей между режимами усиления и ослабления сигналов звеном .

Н а рис.3.10 а изображены АФХ разомкнутого контура, соответствующие трем различным случаям: замкнутая система устойчива (кривая 1), находится на колебательной границе устойчивости (кривая 2) и неустойчива (кривая 3). На рис.3.10 б кривая 1 соответствует устойчивой системе, кривая 2 – неустойчивой. Из приведенных на рис.3.10 б кривых, следует, что замкнутая система устойчива, если АФХ устойчивого разомкнутого контура четное число раз пересекает ось абсцисс левее точки . При этом нуль считается четным числом.

а) б)

Рис.3.10 Амплитудно–фазовые характеристики разомкнутого контура

Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается . Если при модуль АФХ разомкнутой части равен 1, то в контуре системы могут поддерживаться незатухающие колебания и после исчезновения внешнего воздействия.

Если разомкнутая система содержит звено запаздывания, то целесообразно вначале построить АФХ разомкнутой системы без запаздывания, а затем каждый модуль вектора этой характеристики повернуть на угол , где – время запаздывания.

Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка достаточно АФХ разомкнутого контура, соответствующую положительным частотам, дополнить дугой окружности бесконечно большого радиуса и затем применить выше приведенные формулировки критерия Найквиста.

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при увеличении частоты от 0 до охватывала точку в положительном (против часовой стрелки) направлении раз, где – число «правых» корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Последняя формулировка критерия Найквиста является наиболее общей.

Если разомкнутый контур системы образован последовательным соединением типовых динамических звеньев, то для определения устойчивости целесообразно пользоваться логарифмическими частотными характеристиками.

САУ устойчива, если (и только если) в области частот, в которой ЛАЧХ положительна, число пересечений фазовой характеристикой прямых , , , … снизу вверх, т.е. при возрастании фазы, на раз больше числа пересечений в обратном направлении.

Для САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии, можно использовать следующую разновидность основной формулировки критерия Найквиста:

замкнутая система устойчива, если при достижении фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы значения –180⁰ ЛАЧХ будет отрицательной, т.е. на частоте среза значение фазы должно быть больше .

Критерий Найквиста можно применять при выполнении необходимого условия устойчивости: диполи передаточной функции разомкнутой системы должны иметь отрицательную вещественную часть.

Заключение. Устойчивость – это свойство СУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия. Устойчивость является необходимым условием работоспособности СУ. Для устойчивости линейных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть. Критерии устойчивости позволяют сделать суждение об устойчивости без определения корней характеристического уравнения.

Критерий Гурвица имеет преимущественное применение для системы невысокого порядка без звеньев запаздывания. Критерий Михайлова целесообразно использовать при исследованиях многоконтурных САУ, когда необходимо выяснить влияние изменения структуры и корректирующих устройств на ее устойчивость. Наиболее сложные задачи (система высокого порядка и содержит звенья запаздывания, модели отдельных элементов получены обработкой экспериментальных данных) целесообразно решать, используя критерий Найквиста, позволяющий сделать суждение об устойчивости замкнутой системы по АФХ ее разомкнутой части.

В настоящее время вычислительные процедуры для всех критериев существуют в алгоритмической форме и оформлены в виде пакетов прикладных программ (ППП) на языках ПЛ-1, Паскаль, Фортран, АПЛ и др. Алгоритм Гурвица состоит из составления и вычисления определителей, анализа условий их положительности. Для этих целей могут использоваться, в частности, ППП LCAP 2, CLADP. Критерии Михайлова и Найквиста графически наглядны и удобны для оценки запасов устойчивости, что будет использовано в следующем параграфе.